计算机系统课程上讲到的 IEEE 754 32位浮点数一些规则细节的个人理解与解释。 老师在课上已经把各个细节都大致讲过了，这篇文章是给课后对这些细节还感兴趣的同学，做补充解释和扩展。
这篇文章不会采用晦涩的引用或者证明，而是尝试让同学能直观理解 IEEE 754 的一些设计选择。
2021-03-31: 最近有比较多的同学看到了这篇文章，这篇文章的本意是回答几个课上遇到的具体问题，而对 IEEE 754 本身的介绍方面的完整性和系统性可能不及其他资料，建议配合其他资料阅读。
重温课上的例子
课上老师讲过，现代的计算机是以 IEEE 754 的标准来存储浮点数的，以 32 位浮点数 6.625 为例子：
-6.625 = -(4 + 2 + 1/2 + 1/8)，一位一位对应过来，二进制表示就是 -110.101，那么使用浮点数表示 6.625 的话，内存中实际存储的比特位是这个样子的：
其实可以观察到，浮点数的存储，本质上就是二进制的科学记数法：由一个有效数字（绿色部分），乘上一个数量级（蓝色部分）来表示一个小数。
为什么有效数字的整数部分要规定为 1 ？
根据公式可以观察到，尾数前面的整数部分，IEEE 754 规定（当 1 ≤ e ≤ 254 的时候）固定是 1。
有同学问，为什么这里非得是 1 呢？假设整数部分是 0 可不可以呢？
其实 0 也是可以的，但是这样其实就浪费了一个位的精度了。
我们知道浮点数在内存中的表示，其实就是二进制的科学记数法。我们先考虑我们所熟悉的十进制，十进制下科学记数法为了达到最高效地表示数字的目的，是规定不允许有效数字的整数部分是 0 的，如果整数部分是 0 的话，就通过改变数量级指数来调整，使得整数部分变成 1 到 9 之间的整数。
1
0.365 * 10^5 => 3.65 * 10^4
二进制的科学记数法也是一样的，我们为了高效简介的表达，也像十进制的科学记数法一样，规定有效数字的整数部分不能是 0（因为前导 0 是无效数字，并不能提供任何信息）。
也就是说，例如
111010
它的二进制科学记数法是1.11010 * 2^5
而不是0.111010 * 2^6，因为这种表示不是最高效简介的表示方法
但是专家们很快发现：既然都规定了科学记数法有效数字的整数部分不能是 0 ，因为二进制只有 0 和 1 两种数字，那整数部分不就只剩下 1 这一种可能性了吗？
于是通过规定整数部分不为 0 ，加上二进制本身的性质，我们得到一个结论：二进制数的科学记数法中，有效数字的整数部分永远是 1。
知道这个结论以后，我们会发现，我们其实就没必要花内存去存有效数字（例如 1.11010）开头的这个 1 了，因为我们已经知道个位肯定是 1 了，只存有效数字的小数部分（.11010）就行了。
例如
1.11010 * 2^5，已知二进制科学记数法有效数字必然是1.开头的
所以只需要花内存去存小数点后面的尾数11010就足够了
这就是为什么在二进制浮点数中 仅用 23 个 bit 就能表示 24 位的精度，这多出来的 1 个 “免费的精度” 是二进制的特性所共同提供的。
（ps. 如果是 10 进制的话，因为有效数字的整数部分有 1 ~ 9 九种情况，就不能像二进制这样省略掉不存第一位）
我们也可以做一个小实验，我们还是以 -110.101 作为例子，看一下如果假设有效数字个位规定为 0，会有什么效果：
规定 1 为整数部分（IEEE 754 的做法，与开头的例子相同）
规定 0 为整数部分（我们自己假想的做法，注意对比 N 公式的变化）
（注意对比两种方案的尾数）
我们会发现，我们按照 IEEE 754 专家们的规矩去存储的话，需要存储的尾数部分是 10101，但是如果按照我们假设个位是 0 去存储的话，我们的尾数就变成 110101了。
这也印证了我们前面提到的，有效数字整数部分如果为 0 的话，这种表示不是最高效的。
也就是对于同样的数据，假设有效数字整数部分规定是 0 的话，我们的尾数要多浪费一个位，去存储这一个我们明明知道的 1。
为什么指数 e 要用移码表示？而不是带符号位的原码或补码？
同学提到，为什么指数要用移码表示？也就是为什么要把它加上 127 去存储？不是无论哪一种存储方式，表示的范围不都是一样的吗？
答案是为了简化浮点数的运算和大小比较。对于浮点数，我们进行大小比较的时候，其实就是比较两个科学记数法表示的数字，所以第一步肯定是先比较他们的数量级。 如果数量级都不一样大，那就没有必要去比较有效数字部分的具体大小了，因为数量级大的表示的数字肯定更大。
浮点数中的数量级大小由指数 e 决定，思考一下，假设现在指数不用移码，而是采用带符号位的原码表示的话，需要考虑什么？
首先我们要检查符号位，要看符号是不是一样的，如果不一样的话，正数要比负数大。而符号位同正呢？同负呢？同正的话是不是就是绝对值大的数比较大？同负的话是不是绝对值小的数比较大？那就得实现两套比较逻辑，对应两种不同的情况。
首先要把符号关系搞清楚（++,+-,-+,--），然后，再按符号关系执行多套不同的逻辑，这样实现起来 CPU 电路会很复杂。
所以当时设计 IEEE 754 的专家为了保持简洁，就干脆不要符号位了，直接规定我们把指数加上 127 再存储。加上 127 就把指数的取值范围 “移” 到正数上来了。
这样比较指数大小（数量级大小）的时候就不用考虑异号或者同号了，因为都是正数，采用同一套比较电路直接比较就行了，而正数之间的比较电路是很简单的，所以也就简化了 CPU 的设计。
为什么是 +127 而不是 +128？
8bit 有符号整数的范围是-128 ~ 127，但是将整个指数的范围移动到整数上，只需要加 127 就可以了，不用加 128
因为在 IEEE 754 中，指数 = -128被规定保留为表示特殊情况了（具体用途是用来表示很小的数字，称为 Subnormal number）
实际上指数 = 128也被规定保留为表示特殊情况了（NaN / Infinity）
我们能够取到的指数范围只剩下-127 ~ 127
所以不需要偏移 128，只需要偏移 127 就足够了